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设A是n阶矩阵,且A≠0,若存在n阶非零矩阵B,使得AB...

“矩阵≠0”和“非零矩阵”一样! 由A≠0, B≠0 得 r(A)>=1, r(B)>=1 由AB=0, 得 r(A)+r(B)

如果 |A| = 0, 所以 0 为A的特征根。所以 存在 n*1 向量 x≠0使得 Ax = 0, 让B = (x, x,...,x),即n个x构成的n*n 阵。 则 AB = 0, 且 B≠0。 如果 存在一个非零矩阵B,使得AB=0, 设 B=(x1,...,xn),其中 xi 都为列向量。AB=0 ==> Axi = 0. 因为 ...

由AB=0,而且B为非零矩阵,所以存在B的某个列向量bj为非零列向量,满足Abj=0.即方程组AX=0有非零解,所以|A|=0;反之:若|A|=0,则AX=0有非零解,则存在非零矩阵B,满足AB=0.所以,AB=0的充分必要条件是:|A|=0.

B是方程AX=0的非零解,故充要条件是|A|=0

∵AA*=A*A=|A|E,而A*=A′,∴AA′=|A|E,设:A=(aij),AA′=(cij),则:cii=(ai1,ai2,…,ain)ai1ai2…ain=ai12+ai22+…+ain2,而A为n阶非零方阵,因而至少存在一个aij≠0,则:cii>0,根据AA′=|A|E,知AA′的第i行第i列元素等于|A|,∴|A|=cii>0

移过来就知道了,虽然 B-C ≠ 0, 但可能存在 A 使 A(B-C) = 0 ,这样就有 AB = AC 了 。 如 B = [ 1,0;0,1],C = [1,0;0,0] ,A = [0,0;1,0] 。

你好!用反证法说明-1是特征值,用已知条件说明向量组线性无关。经济数学团队帮你解答,请及时采纳。谢谢!

若A的秩为n,则A可逆,在AB=0两边左乘A的逆矩阵可得B=0,与B非零矛盾,所以A的秩小于n。 若B的秩为n,则B可逆,在AB=0两边右乘B的逆矩阵可得A=0,与A非零矛盾,所以B的秩小于n。 答案是C。

(1)证明:A²+A=0,A(A+E)=0,若r(A+E)=n,等式两端右乘(A+E)-1,得A=0,与已知A为n阶非零矩阵矛盾。所以r(A+E)<n,即|A+E|=0,那么根据特征方程|λE-A|=0知,-1必是A的特征值。 同理 -1必是B的特征值。 【评注】 本题是利用秩来解答...

定理:如果AB=0,则秩(A)+秩(B)≤n. 证明:将矩阵B的列向量记为Bi.∵AB=0,所∴ABi=0, ∴Bi为Ax=0的解. ∵Ax=0的基础解系含有n-秩(A)个线性无关的解, ∴秩(B)≤n-秩(A), 即秩(A)+秩(B)≤n.

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