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线性代数,A列向量组线性相关怎么推出Ax=0有非零解

把A写成列向量的形式设A=(α1,α2,……,αn)则AX=α1·x1+α2·x2+……+αn·xn=0它有非0解即存在不全为0的数x1,x2,……,xn使上式成立所以α1,α2,……,αn线性相关

这是因为,r(A)

题目错误。 A 为 n 阶方阵,若方程组 AX=0 只有唯一零解,则 |A| ≠ 0。 因方程组 AX=0 只有唯一零解,故可用克莱姆法则求解。 用克莱姆法则求解的充要条件是 |A| ≠ 0

因为A的特征值是0,所以A的行列式等于特征值的乘积,即|A|=0,所以r(A)

AX=0是AX=B的齐次线性方程 两个解得关系 AX=0有解不一定AX=B有解,反之则成立。即是AX=B有解是AX=0有解的充分非必要条件。 假设X1,X2是AX=B的两个不相同的解,则X1-X2是AX=0的一个非零解,即AX=B的任意两个不相同的解得差就是AX=0的一个非零解

任意两个非零解线性相关,说明解是c(...)的形式,解空间维数是1,秩为2。

“A不就是满秩矩阵了吗,AX=0只能有唯一零解?” A是行满秩矩阵 Ax=0只有零解是列满秩矩阵的性质,对行满秩矩阵不成立

矩阵B的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解,由于Ax=0的线性无关的解向量最多只有n-r(A)个,所以r(B)≤n-r(A),也可以写成r(A)+r(B)≤n,其中n是A的列数。

反例: A= 1 2 B= 2 1

验证对加法和数乘是否封闭就行了 先看E={x: Ax=0} 对任意常数a,b以及任意元素x,y∈E A(ax+by)=aAx+bBy=0 所以ax+by∈E 从而E是子空间 再考虑F={x: Ax=b} 对于任意x,y∈F A(x+y)=Ax+Ay=b+b=2b 所以x+y不再F中 所以F不是子空间

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